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证明高阶平均度函数的单调递增性

2013年11月28日

证明 $f(x)=\frac{<k^{x+1}>}{<k^x>}$ ($x>0$,$k$为正整数)的单调递增性。

证明:

对任意 $x>y>0$, 需证明$f(x)> f(y)$, 即可得到单调递增性。

为方便起见,我们省略了求平均时上下同时除掉的节点数目,即$k_i$中$i$的数目,将<>理解为求和就好。

记$K=\text{min}(k_i),N=\text{count}(k_i=K)$, 则 , 其中<>'表示这个求和中并不包含那N个最大的$k_i$值。

记$f’(x)=\frac{<k^{x+1}>’}{<k^x>’}$,假设我们已经有$f’(x)$是单调递增的, 即有 等价于 重记之为$\frac{a}{a’} > \frac{b}{b’}$,根据指数函数的性质, 有$a>a’, b>b’, a>b, a’>b’$,因为底$\frac{k}{K}>1$。

于是,问题转变为证明$\frac{a+N}{a’+N} > \frac{b+N}{b’+N}$,等价于$(ab’-a’b)+(a+b’-a’-b)N>0$, 由假设第一项为正,第二项证明如下:

由于${k_i}$是一个有穷长的数列,这个过程可以一直进行下去,直到只剩下最大的那个度,那时单调性是显然的,其实那时是个常数。

注意,这里并不需要从较小的度开始递归,从最大的度开始也可以,不过是底小于1的时候那四个不等式同时反向而已,对最后的那个推导过程没什么影响。